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高中数学解题思想方法技巧:统计开门 存异求同

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统计开门 存异求同
●计名释义
甲问:什么是“可能一统”?乙答:就是“可能性”完成大一统.
甲:此话怎讲?乙:排列、组合讲的是“可能状态”,概率讲的是“可能比值”,而统计则是对“各种可能”的计算,故称“可能一统”.
甲:这有什么意义呢?乙:现实意义,实际意义,应用意义.你不知道吗,如今的数学应用题几乎全部转入到“可能一统”之中.
甲:不错!以往的高考应用题,多在函数、方程、不等式上打主意,自从新课标普及以来,应用题转到概率和统计上了.不过,这是否在实用方面有点偏离高中数学的主干内容呢?乙:大概命题人也想到这点,因此近年的概统应用题,似乎都在想方设法往函数、方程、不等式方面拉关系!
●典例示范
【例1】   假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元),有如下的统计资料:
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
若由资料可知y对x呈线性相关关系.试求:
(1)线性回归方程;
(2)估计使用年限为10年时,维修费用是多少?
【分析】   本题告诉了y与x间呈线性相关关系,倘若记住了公式,便可以迅速解答出此题.
注:设所求的直线方程为 =bx+a,其中a、b是待定系数.

相应的直线叫做回归直线,对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析.
解:(1)列表如下: 
i 1 2 3 4 5
xi 2 3 4 5 6
yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0
x
4 9 16 25 36


于是b= ,
a= 0.08.         ∴线性回归方程为: =bx+a=1.23x+0.08.
(2)当x=10时, =1.23×10+0.08=12.38(万元)
即估计使用10年时维修费用是12.38万元.
【点评】   本题若没有告诉我们y与x间是呈线性相关的,应首先进行相关性检验.如果本身两个变量不具备线性相关关系,或者说它们之间相关关系不显著时,即使求出回归方程也是没有意义的,而且其估计与预测也是不可信的.

【例2】   某种灯泡的使用时数在1000小时之上的概率是0.7,求:
(1)3个灯泡在使用1000小时之后恰坏1个的概率;
(2)3个灯泡在使用1000小时之后最多只坏1个的概率.
【思考】   本题的实质是检查3个灯泡,可视为3次独立重复试验.(1)中3个灯泡在使用1000小时之后恰坏1个,相当于在3次独立重复试验中事件A恰好发生2次(事件A是“灯泡的使用时数在1000小时以上”);(2)中指“恰好坏1个”与“3个都未坏”这两种情况,即事件A发生2次和发生3次,可用独立重复试验的方法求解.
【解答】   设“灯泡的使用时数在1000小时以上”为事件A,则P(A)=0.7,检查3个灯泡可视为3次独立重复试验.
(1)3个灯泡在使用1000小时之后恰好坏1个,相当于在3次独立重复试验中事件A恰好发生2次.
∴P3(2) =C (0.7)2(1-0.7)3-2=3×0.49×0.3=0.441.
(2)“3个灯泡在使用1000小时之后最多只坏1个”包括了“恰好坏1个”和“3个都未坏”这两种情况,它们彼此互斥,相当于A发生2次和发生3次的概率和,即所求概率为P3(2)+P3(3)=0.441+C 0.73=0.784.
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