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高中数学解题思想方法技巧:解几开门 轨迹遥控

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解几开门 轨迹遥控
●计名释义
求动点的轨迹图形及轨迹方程是解析几何中的核心,体现了用代数方法研究几何问题的数学思想.轨迹是解析几何的灵魂,它就象一个遥控器,指挥着我们行动的方向.由方程研究曲线和已知曲线求其方程是解析几何的两大研究方向,在图形与方程问题遇到困难的人,往往疏忽了“轨迹”二字.正是“轨迹”二字告诉了动点的性质,动点的性质才是图形性质和方程性质的根基. 
●典例示范
【例1】   动椭圆过定点M(1,2),以y轴为准线,离心率e= .  (1)求动椭圆左顶点的轨迹方程;(2)求椭圆长轴长的最大值和最小值.
【思考】   如M(1,2)为右顶点,则左顶点为P(1-2a,2).椭圆中心为(1-a,2),左准线为y轴.∴ -a=0,而e= .  ∴ =2,有-3a+1=0,a= .  得点P1( ,2);如M(1,2)为左顶点,有P2(1,2),∴P1P2中点为( ,2).
由以上可以预见,所求轨迹是中心为O′( ,2)的椭圆.
【解答】   (1)设椭圆左顶点为M(x,y),则左焦点为F(x0,y0)=F(x+a-c,y),
∵e= ,且左准线为y轴,                       ∴ =0,
得a=x,c= = ,有:F ,由椭圆第二定义: = e= .
∴   ,化简得:               ①
(2)椭圆①的长半轴a′= ,∴- ≤x- ≤ ,得x∈ .
原椭圆长半轴为a=x,∴2a=2x∈ .故原椭圆长轴最大值为2,最小值为 .
【例2】   已知双曲线的两个焦点分别为F1,F2,其中F1又是抛物线y2=4x的焦点,点A(-1,2),B(3,2)在双曲线上,(1)求点F2的轨迹方程;(2)是否存在直线y=x+m与点F2的轨迹有且只有两个公共点,若存在,求出实数m的值,不存在,说明理由.
【思考】   F1(1,0)为定点,∴|AF1|=2 =|BF1|为定值,设F2(x,y),则|F2A|-2 =±(F2B-2 ).得|F2A|=|F2B|或|F2A|+|F2B|= 4 ,知动点F2的轨迹为直线AB的垂直平分线或以A、B为焦点的椭圆.
【解答】   (1)点F2的轨迹方程为直线l:x=1或椭圆 .(不含短轴两端,即不含(1,0),(1,4)解法略).
(2)如图,当椭圆与直线y=x+m相切时,直线与所求轨迹恰有两交点(-为切点,另-为切线与直线x=1的交点),其他情况下,若直线y=x+m过椭圆短轴端点时与所求轨迹仅有一个公共点,若不过短轴两端点而经过椭圆内部时则有三个公共点,由
∴3x2+(4m-10)x+2m2-8m+1=0.
此方程应有相等二实根,
∴Δ=(4m-10)2-12(2m2-8m+1)=0.
化简得:m2-2m-11=0,∴m=1±2 .
【小结】   探求轨迹,一要注意
其完备性也就是充分性:只要符合
条件的点都适合轨迹方程;二要
注意其纯粹性也就是必要性:只要
适合轨迹方程的点都符合轨迹条件.                         例3题图
以例2为例:若忽视了直线x=1(不含(1,0),(4,0))则不完备,若不除去(1,0),(4,0)则又不纯粹.
●对应训练
1.已知双曲线过坐标原点O,实轴长为2,其中一个焦点坐标为F1(6,0),另一个焦点F2为动点.
(1)求双曲线中心的轨迹方程;
(2)双曲线离心率最大时,求双曲线方程.
2.已知定直线l和线外一定点O,Q为直线l上一动点,△OQP为正三角形(按逆时针方向转),求点P的轨迹方程.
3.已知双曲线过坐标原点O,实轴长为2,其中一个焦点坐标为F1(6,0),另一个焦点F2为动点.(1)求双曲线中心的轨迹方程;(2)双曲线离心率最大时,求双曲线方程.
4.已知抛物线C:y2=4x,(1)若椭圆左焦点及相应准线与抛物线C的焦点及相应准线分别重合.(1)求椭圆短轴端点B与焦点F所连线段的中点P的轨迹方程;(2)若M(m,0)是x轴上的一个定点,Q是(1)中所求轨迹上任意一点,求|MQ|的最小值.
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