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高中数学解题思想方法技巧:立几开门 平面来风

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立几开门 平面来风
●计名释义
空间型试题感到困难怎么办?退到平面去,平面是立体几何的基础,“空间几何平面化”是我们的基本手段.“平面化”的主要形式有:(1)展开图,把空间展到平面;(2)三视图,从不同的角度看平面;(3)射影图,把一个平面放到另一个平面去;(4)截面图,把我们关心的平面进行特写.如此等等,可以把直观图中的错觉或误差分别转移到平面上作“真实分析”.
●典例示范
【例1】   “神舟六号”飞船上
使用一种非常精密的滚球轴承,
如图所示,该滚球轴承的内
外圆的半径分别为1mm、3mm,
则这个轴承里最多可放
滚珠                       个.                例1题图
【解答】   6如图,设两滚球P,Q相切
于点T,轴承中心为O,连接OT,
设滚球半径为d,内、外圆半径
分别为r、R,则R=3,d=r=1.
在Rt△OTP中,∠POT= ,OP=2,PT=1,
则有sin = ,
得α=2× = ,即在圆心角为 的轨道内,           例1题解图
可放一个滚珠,故圆心角为周角(2π弧度)
时可放的滚珠为 =6个.
【点评】   本题考查了球体知识的相切问题,把复杂的空间立体图形简化成平面图形来解决.
【例2】   在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面四边形ABCD边长为3,高为4,在棱C1B1,C1D,CC上分别取一点M、N、L使C1M=C1N=1,C1L= .
(1)求证:对角线AC1⊥面MNL;       (2)求四面体D—MNL的体积;
(3)求AM和平面MNL所成夹角的正弦值.
【思考】   (1)本题并不难,但其手法还是“退”,由证线面垂直退到证线线垂直.根据对称性,只需证AC1与LM、LN之一垂直即可;
(2)四面体D—MNL的体积不好求,可退而求四面体C1—MNL的体积,这两个四面体等底不等高,再退而求四面体对应高之比,然后将所求四面体C1—MNL的体积适当扩大即可;
(3)AM与面MAC1夹角的正弦不好求,可退而求AM、AC1夹角的余弦.
【解答】   (1)如图所示,以D1为原点,直线D1A1,D1C1,D1D分别为x,y,z轴建立空间坐标系
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