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高中数学解题思想方法技巧:导数开门 腾龙起凤

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导数开门 腾龙起凤
●计名释义
导数蕴涵着丰富的数学思想和数学文化,它不仅是数学解题的工具,又是一种先进的思维取向.
近年高考对导数加大了力度,不仅体现在解题工具上,更着力于思维取向的考查.导数,她像是一条腾跃的龙和开屏的凤,潜移默化地改变着我们思考问题的习惯.数学思想的引领,辨证思想的渗透,帮助着我们确立科学的思维取向.
●典例示范
【例1】   (2005年北京卷)过原点作曲线y=ex的切线,则切点的坐标为              ,切线的斜率为                      .
【分析】   本题中没有给出切线方程,而要我们求切点坐标和切线斜率,似乎太难为我们考生了.但如果想到导数的几何意义,我们不妨一试.
【解答】   对于未给定切点的要先求导数,即y′=(ex)′.
设切点为(x0,e ),y′=ex,yx= x =e .           则切线方程为y-e =e (x-x0),
∵切线过(0,0)点,0-e =e (0-x0),∴x0=1,∴e =e,∴切点坐标为(1,e),切线斜率为e.
【点评】   求导既是一种解题方法,又是一种思维取向,故要求我们将方法与思维并存,表里合一,协调匹配.
【例2】   若函数f (x)=loga(x3-ax) (a>0,a≠1)在区间( ,0)内单调递增,则a的取值范围是                                                               (      )
A.             B.           C.          D. 
【解答】   B   设u=x3-ax,则u′=3x2-a.
当a>1时,f (x)在 上单调递增,必须u′=3x2-a>0,即a<3x2在 上恒成立.又0<3x2< ,∴a≤0,这与a>1矛盾.
当0<a<1时,f (x)在 上单调递增,必须u′=3x2-a<0,即a>3x2在 上恒成立,
∴a≥ 且(- )3 -a (- )>0,即a> ,故有 ≤a<1,故正确答案为B.
【点评】   此题是对数型复合函数,因真数含立方,故宜用导数解决.
【例3】   已知a∈R,讨论函数f (x)=ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数.
【解答】   f′(x)=ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+a)=ex[x2+(a+2)x+(2a+1)].
令f′(x)=0得x2+(a+2)x+(2a+1)=0.
(1)当Δ=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)>0.
即a<0或a>4时,方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0.  有两个不同实根x1,x2,不妨设x1<x2,于是
f′(x)=ex(x-x1)(x-x2).
从而有下表:
x (-∞,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+∞)
fˊ(x) + 0 - 0 +
f (x) ↗ f (x1)为极大值 ↘ f (x2)为极小值 ↗

即此时f (x)有两个极值点.
(2)当在Δ=0,即a=0或a= 4时,方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个相同的实根x1=x2.于是
f′(x)=ex(x-x1)2.
故当x<x1时,f′(x)>0;当x>x2时,f′(x)>0.因此f (x)无极值.
(3)当Δ<0,即0<a<4时,x2+(a+2)x+(2a+1)>0,f′(x)=ex[x2+(a+2)x+(2a+1)]>0,故f (x)为增函数,此时f (x)无极值.因此  当a>4或a<0时,f (x)有2个极值点,当0≤a≤4时,f (x)无极值点.
【点评】   此题虽不是求极值,但确定极值点个数实际上还是考查极值,解答时最好列表分析,便于确定极值点的个数.
●对应训练
1.已知函数f (x)= 的图象在点M(-1,f (-1))处的切线方程为x+2y+5=0.
(1)求函数y=f (x)的解析式;        (2)求函数y=f (x)的单调区间.
2.已知函数f (x)= ,x∈[0,1].
(Ⅰ)求f (x)的单调区间和值域;
(Ⅱ)设a≥1,函数g (x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1].若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g (x)=f (x1)成立,求a的取值范围.
3.已知a≥0,函数f (x)=(x2-2ax)ex.
(Ⅰ)当x为何值时,f x)取得最小值?证明你的结论;
(Ⅱ)设f (x)在[-1,1]上是单调函数,求a的取值范围
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