返回首页

高中数学解题思想方法技巧:参数开门 宾主谦恭

下载地址


内容预览

第34计 参数开门 宾主谦恭
●计名释义
参数,顾名思义,是种“参考数”.供谁参考,供主变量参考.因此,参数对于主元,是种宾主关系,他为主元服务,受主元重用.
数学解题的过程中,反客为主,由参数唱主角戏的场景也异常精彩.
有趣的是,“参数何在,选谁作参”的问题又成了解题破门的首要问题.此时,你有两种选择,一是参数就立足在面前,由你认定;二是参数根本不在,要你“无中生有”.
●典例示范
【例1】   P、Q、M、N四点都在椭圆x2+ =1上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,已知 与 共线, 与 共线,且 • =0,求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.
【分析】   四边形“没有”面积公式,因此难以用某边长为参数,建立面积函数式.
幸好,它有两条互相垂直的对角线PQ和MN,使得四边形面积可用它们的乘积来表示,然而,它们要与已知椭圆找到关系,还需要一个参数k,并找到PQ,MN对k的依赖式.这就要“无中生有”了.
【解答】   如图,由条件知MN和PQ
是椭圆的两条弦,相交于焦点F(0,1),
且PQ⊥MN,直线PQ、NM中至少有一条
存在斜率,不妨设PQ的斜率为k.
【插语】   题设中没有这个k,
因此是“无中生有”式的参数.
我们其所以看中它,是认定它
不仅能表示|PQ|= f1(k),还能表示|MN|= f2(k).              例1题解图
【续解】   又PQ过点F(0,1),故PQ方程为y=kx+1,将此式代入椭圆方程得(2+k2)x2+2kx-1=0,设P、Q两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则
x1= ,
从而|PQ|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2= ,          亦即|PQ|= .
【插语】   无论在椭圆方程中,还是P,Q,M,N的坐标中,x,y是当之无愧的主元.而这是新的函数关系|PQ|=f1(k)= 标志着主宾易位,问题已经发生了转程.
【续解】   (ⅰ)当k≠0时,MN的斜率为- ,同上可推得,
|MN|= ,
故四边形S= |PQ|•|MN|= .
令u=k2+ ,得S= .
因为u=k2+ ≥2,当k=±1时,u=2,S= ,且S是以u为自变量的增函数,所以
≤S<2.
【插语】   以上为本题解答的主干,以下k=0时情况,只是一个小小的补充,以显完善之美.其实,以“不失一般性”为由,设“k≠0”为代表解答亦可.这时,可省去下边的话.
【续解】   (ⅱ)当k=0时,MN为椭圆长轴,|MN|=2 ,|PQ|= ,S= |PQ|•|MN|=2.
综合(ⅰ)(ⅱ)知,四边形PMQN面积的最大值为2,最小值为 .
【点评】   参数k将F(x,y)=0的方程转化为关于k的函数,达到“宾主融融”的和谐境界.参数成为解题化归中的一个重要的角色,有时在“反客为主”中成为主角.
【例2】   对于a∈[-1,1],求使不等式 恒成立的x的取值范围.
【分析】   本题化指数不等式为整式不等式是不难的,问题是下一步应当怎样走!你是以x为主,讨论二次不等式?还是以a为主,讨论一次不等式?其难易之分是显而易见的.
【解答】   y= 为R上的减函数,∴由原不等式得:x2+ax>2x+a+1.
即a(x-1)+(x2-2x-1)>0当a∈[-1,1]时恒成
课程推荐

下载说明

☉如果这个资料总是不能下载的请点击报告错误,谢谢合作!
☉下载学习方法资源时,如果服务器暂不能下载请过一段时间重试!
☉学习方法网提供的一些学习资料仅供学习研究之用,请勿用于商业用途。

------分隔线----------------------------