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高中数学解题思想方法技巧:符号开门 来意弄懂

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符号开门 来意弄懂
●计名释义
数学老师讲“数学语言”,他在黑板上写了这样一句话,其中没有一个汉字:
3x+2y+z=100
问学生:“这句话的意思是什么?”
学生甲说:这是一个故事,马驮粮食的故事:一匹大马驮3袋粮食,中马驮2袋,小马驮1袋,一共驮走了100袋粮食.
学生乙说:这是一个方程,三元一次方程,3个未知数x,y,z.这是个不定方程.
学生丙说:这是一个问题:第1个数乘3,第2个数乘2,第3个数乘1,其和为100.问这3个数各为多少?
老师很高兴:这种用来表示数学语言的“数学文字”,通常称作数学符号.这里的3,2,1,100,+,=等数学文字都是数学符号.其实,这三个学生对“这句话”的理解是有区别的:甲说的是情境,乙说的是形式,丙说的才是数学本意.单从句式上看,方程不是一个陈述句,也不是感叹句,而是疑问句.
●典例示范
【例1】   计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0~9和字母A~F共16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表:
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
例如,用十六进制表示:E+D=1B,则A×B=                             (      )
A.6E                  B.72                  C.5F                  D.B0
【分析】   本题破门首先是弄懂数学符号A,B,C,D,E,F的意思.依题意,他们是16位进制数中后6个数字.说它们是第10,11,12,…,15等数字时,则请注意,这是在借用10进制说话.这里11到15,在10进制中都是十位数,而A到F,在16位进制中都是个位数.
对于E+D=1B,有人写成E+D=14+13=27=1B.这就混淆了数学符号在两种进制中的意义.这里14,13,1B中的1的意思相同吗?
【解答】   我们用符号[x](10),[y](16)分别表示10进制和16进制中的数,依题意,就是[16](10)=[10](16) .则有A×B=[10×11](10) =[110](10) =[6×16+14](10) =
[610+E](16)=6E.
答案为A.
【插语】   这里,解题人的特殊数学语言(10进制数和16进制数)用特别符号([x](10)和[y](16))来与读者“约定”,使表达式形式准确而简明.
【点评】   高考数学新题型中,往往有新的数学符号出现.由于有新符号,所以一定有对新符号的介绍.这时我们的任务是:把新的“符号语言”和我们已经掌握了的“普通语言”完成互译:(1)把“新符号”译成“普通话”;(2)把迁移后(解答后)的“普通话”译成“新符号”.
【例2】   对于任意的两个实数对(a1,b1)和(a2,b2), 规定:(a1,b1)=(a2,b2),当且仅当a1=a2,b1=b2,运算“ ”为:(a1,b1) (a2,b2)=(a1a2-b1b2,b1a2+a1b2);运算“ ”为:(a1,b1) (a2,b2)=(a1+a2,b1+b2). 设p,q∈R,若(1,2) (p,q)=(5,0),则
(1,2) (p,q)=                                                          (      )
A.(4,0)         B.(2,0)         C.(0,2)         D.(0,-4)
【分析】    本题破门首先是弄清符号所表示的运算意义:(1)运算对象是有序数对(a,b),运算结果也是有序数对(a,b);(2)运算法则则是(翻译)化为普通运算法则进行:
a3=a1a2-b1b2,b3=b1a2+a1b2,同样对符号 进行类似的分析.于是我们得到如下的解法.
【解答】   B   由(1,2) (p,q)=(5,0)得 ,所以(1,2) (p,q)=(1,2) (1,-2)=(2,0),故选B.
【插语】    这里的运算 、 的一种具体形式是复数代数式加法运算和乘法运算. 即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i   (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.
由此可以看到,命题人在设计新题型时在如何“推陈出新”. 这里的运算法则 、 设计实际上是把一种具体的(复数)运算法推广到了(有序数对)“一般化”运算.
●对应训练
1.设是R上的一个运算,A是R的非空子集.若对任意a、b∈A,有a b∈A,则称A对运算封闭.下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭
的是                                                                (      )
A.自然数集         B.整数集         C.有理数集         D.无理数集
2.定义集合运算:A⊙B ={z︳z= xy(x+y),x∈A,y∈B},设集合A={0,1},B={2,3},则集合A⊙B的所有元素之和为                                          (      )
A.0               B.6               C.12               D.18
3.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d. 例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为            (      )
A.4,6,1,7          B.7,6,1,4           C.6,4,1,7              D.1,6,4,7
●参考答案
1.【分析】    这里“封闭”的定义,是说集合A中的任意两个数经过 运算的结果,仍然是集合A中的元素,则称A对运算 是封闭的.
【解答】   A中1-2=-1不是自然数,即自然数集不满足条件;B中1÷ 2=0.5不是整数,即整数集不满足条件;C中有理数集满足条件;D中 × =2不是无理数,即无理数集不满足条件,故选择答案C.
【点评】    本题中的运算有四个,即加法、减法、乘法和除法(除数不为0),要想这四则运算都封闭,必须经四则运算后的结果,还是所给的数集中的一员.由于是单项选择题,这就需举出反例来说明它的不封闭性.
2.【分析】    集合运算A⊙B实际上两个集合中元素的积乘以两个集合中元素的和. 所给集合A中有一个元素0,这使问题简化了,因为0乘以任何数其结果为0.
【解答】   D   当x=0时,z=0,当x=1,y=2时,z=6,当x=1,y=3时,z=12,故所有元素之和为18,选D.
【点评】   所给集合就是两个元素,我们可以一一把它们的结果列举出来,因为有0的存在,使得我们的计算大大地省下了一笔.这也是命题人给考生的照顾吧!
3.【解答】   C   依题意,建立方程组
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