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高中数学解题思想方法技巧:思想开门 人数灵通

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第36计 思想开门 人数灵通
●计名释义
为什么要学数学?难道仅仅是为了那几个公式、那几项法则、那几条定理?学过数学的人,到后来多数把那些具体的公式、法则和定理忘得一干二净,这岂不是说,他们的数学白白学了?
所谓“数学使人聪明”,就是学过数学的人们,看待问题和解决问题时有一种优质的、高品位的思想. 这种思想,它来自数学公式、法则和定理的学习过程,但它一旦形成了思想,就可以与形成它的数学具体的知识相对分离. 而与人的灵性结合,形成人的自觉行为活动.  中学数学可以形成的思想(方法),公认的有七种,这七种思想首先要与人的灵性融合,反过来,在解决数学问题时,又能使数学问题也具有灵性,从而达到人与数的沟通、实现“人数合一”的思想境界.
●典例示范
【例1】   有一个任意的三角形
ABC(材料),计划拿它制造一个
直三棱柱形的盒子(有盒盖)
,怎样设计尺寸(用虚线表示),
才能不浪费材料(图右上)?                                例1图
【思考】   “任意”三角形属一般情况,
它的对立面是“特殊”的三角形.
我们先从正三角形考虑起.
假设这个尺寸如图(1)所示.
(1)三棱柱的底面A1B1C1的
中心G为原三角形的中心.
(2)柱体的三侧面是三个矩形,
矩形的长与底面△A1B1C1的边长对应相等.
(3)柱体的上底面(盒盖)由
三个四边形拼合,拼成后的三角形与A1B1C1全等.          例1题解图(1)
经过以上思考,底面小三角形的三个顶点,如C1,它应满足两个条件:其一,C1是GC的中点;其二,C1到∠C两边的距离相等,
因此它在∠C的平分线上.于是在一般的情况下,点G应是△ABC的内心.
【解答】   作△ABC的∠A和∠B的
平分线相交于内心G,如图(2)所示.
分别作GA、GB、GC的中点A1、B1、C1.
△A1B1C1为直三棱柱的一个底面.
过A1,B1,C1三点分别作对应边
的垂线(段),所得矩形为柱体的三个侧面.
经过以上截取后,原△ABC三个顶点
处所余下的三个四边形拼在一起,
作为柱体的另一个底面(盒盖).                         例1题解图(2)

【点评】   本题的设问,只要求讲出“设计操作”,形式上“不讲道理”.实质上,人的操作是受思想支配的,因此,本质上是在考“思想”.本解法在探索过程中为找到三角形的内心,运用的就是数学上七大基本思想之一——特殊一般思想.

【例2】   校明星篮球队就要组建了,需要在各班选拔预备队员,规定投篮成绩A级的可作为入围选手.选拔过程中每人最多投篮5次,若投中了3次则确定为B级,若投中4次以上则可确定为A级,已知高三(1)班阿明每次投篮投中的概率是 .
(1)求阿明投篮4次才被确定为B级的概率;
(2)若连续两次投篮不中则停止投篮,求阿明不能入围的概率.
【解答】   (1)求阿明投篮4次才被确定为B级的概率,即求前3次中恰有2次投中且第4次必投中的概率,其概率为P=C23•( )2• • = .
(2)若连续两次投篮不中则停止投篮,阿明不能入围,该事件可分为下列几类:
①5次投中3次,有C24种可能投球方式,其概率为:P(3)=C24•( )5= ;
②投中2次,其分别有“中中否否”、“中否中否否”、“否中中否否”、“否中否中否”4类投球方式,其概率为:P(2)=( )4+3•( )5= ;
③投中1次,其分别有“中否否”、“否中否否”2类投球方式,
其概率为:P(1)=( )3+( )4= ;
④投中0次,其仅有“否否”一种投球方式,其概率为:P(1)=( )2= ,
∴P=P(3)+P(2)+P(1)+P(0)= + + +  = .
【点评】   本题是以考生喜闻乐见的体育运动为背景的一种概率应用题,考查或然和必然的思想.
●对应训练
1.函数y=lg 的定义域是:                                     (      )
A.{x|x<0}          B.{x|x>1}            C.{x|0<x<1}         D.{x|x<0或x>1}
2.下面的数表
                          1=1
                         3+5=8
                     7+9+11=27
                13+15+17+19=64
           21+23+25+27+29=125
所暗示的一般规律是                                                .
●参考答案
1.D   利用特殊值.x= -1,2时,函数有意义,排除A、B,x= 时,函数无意义,排除C.
2.(n2-n+1)+(n2-n+3)+…+[n2-n+(2n-1)]= n3
设第n行左边第一个数为an,则a1=1,a2=3,an+1=an+2n. 叠加得an=n2-n+1,而第n行等式左边是n个奇数的和,故第n行所暗示的一般规律是
(n2-n+1)+(n2-n+3)+…+[n2-n+(2n-1)]=n3.
【点评】   数表问题由来已久,常作为高考数列开放性探索题.由高中的数学竞赛到高考中的杨辉三角问题研究,此类问题走势也在增强.由已知的有限条件探讨到无限的规律中去.
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