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初中数学二次函数知识点总结

2014-01-29 11:37 | 来源:网络资源 | 作者:未知 | 本文已影响

 

I.定义与定义表达式

一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax^2+bx+c

abc为常数,a0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称yx的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

 

II.二次函数的三种表达式

一般式:y=ax^2+bx+cabc为常数,a0

顶点式:y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点Phk]

交点式:y=a(x-x)(x-x ) [仅限于与x轴有交点Ax₁ ,0)和     Bx₂,0)的抛物线]

注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:

h=-b/2a   k=(4ac-b^2)/4a   x,x=(-b±√b^2-4ac)/2a

 

III.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。

 

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线    x = -b/2a

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0

2.抛物线有一个顶点P,坐标为:P ( -b/2a (4ac-b^2)/4a )-b/2a=0时,Py轴上;当Δ= b^2-4ac=0时,Px轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

a0时,抛物线向上开口;当a0时,抛物线向下开口。|a|越大,则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

ab同号时(即ab0),对称轴在y轴左;

ab异号时(即ab0),对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0c

6.抛物线与x轴交点个数

Δ= b^2-4ac0时,抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b^2-4ac0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√b^24ac 的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a

 

V.二次函数与一元二次方程

特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c

y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),即ax^2+bx+c=0

此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1.二次函数y=ax^2y=a(x-h)^2y=a(x-h)^2 +ky=ax^2+bx+c(各式中,a0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:

h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到,

h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.

h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象;

h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

因此,研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.

 

2.抛物线y=ax^2+bx+c(a0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a[4ac-b^2]/4a)

 

3.抛物线y=ax^2+bx+c(a0),若a>0,当≤ -b/2a时,yx的增大而减小;当≥ -b/2a时,yx的增大而增大.若a<0,当≤ -b/2a时,yx的增大而增大;当≥ -b/2a时,yx的增大而减小.

 

4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点:

(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0c)

(2)当△=b^2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x₁,0)B(x₂,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

(a0)的两根.这两点间的距离AB=|x-x|

当△=0.图象与x轴只有一个交点;

当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0

 

5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x= -b/2a时,y最小()=(4ac-b^2)/4a

顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.

 

6.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知xy的三对对应值时,可设解析式为一般形式:

y=ax^2+bx+c(a0)

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)^2+k(a0)

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x)(x-x)(a0)

 

7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.

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