高中数学试题

高中数学数列的概念与简单表示法测试题(含答案)

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1.数列1,12,14,…,12n,…是(  )
A.递增数列        B.递减数列
C.常数列   D.摆动数列
答案:B
2.已知数列{an}的通项公式an=12[1+(-1)n+1],则该数列的前4项依次是(  )
A.1,0,1,0   B.0,1,0,1
C.12,0,12,0   D.2,0,2,0
答案:A
3.数列{an}的通项公式an=cn+dn,又知a2=32,a4=154,则a10=__________.
答案:9910
4.已知数列{an}的通项公式an=2n2+n.
(1)求a8、a10.
(2)问:110是不是它的项?若是,为第几项?
解:(1)a8=282+8=136,a10=2102+10=155.
(2)令an=2n2+n=110,∴n2+n=20.
解得n=4.∴110是数列的第4项.

一、选择题
1.已知数列{an}中,an=n2+n,则a3等于(  )
A.3   B.9
C.12   D.20
答案:C
2.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是(  )
A.1,12,13,14,…
B.-1,-2,-3,-4,…
C.-1,-12,-14,-18,…
D.1,2,3,…,n
解析:选C.对于A,an=1n,n∈N*,它是无穷递减数列;对于B,an=-n,n∈N*,它也是无穷递减数列;D是有穷数列;对于C,an=-(12)n-1,它是无穷递增数列.
3.下列说法不正确的是(  )
A.根据通项公式可以求出数列的任何一项
B.任何数列都有通项公式
C.一个数列可能有几个不同形式的通项公式
D.有些数列可能不存在最大项
解析:选B.不是所有的数列都有通项公式,如0,1,2,1,0,….
4.数列23,45,67,89,…的第10项是(  )
A.1617   B.1819
C.2021   D.2223
解析:选C.由题意知数列的通项公式是an=2n2n+1,
∴a10=2×102×10+1=2021.故选C. 
5.已知非零数列{an}的递推公式为an=nn-1•an-1(n>1),则a4=(  )
A.3a1   B.2a1
C.4a1   D.1
解析:选C.依次对递推公式中的n赋值,当n=2时,a2=2a1;当n=3时,a3=32a2=3a1;当n=4时,a4=43a3=4a1.
6.(2011年浙江乐嘉调研)已知数列{an}满足a1>0,且an+1=12an,则数列{an}是(  )
A.递增数列   B.递减数列
C.常数列   D.摆动数列
解析:选B.由a1>0,且an+1=12an,则an>0.
又an+1an=12<1,∴an+1<an.
因此数列{an}为递减数列.
二、填空题
7.已知数列{an}的通项公式an=19-2n,则使an>0成立的最大正整数n的值为__________.
解析:由an=19-2n>0,得n<192,∵n∈N*,∴n≤9.
答案:9
8.已知数列{an}满足a1=2,a2=5,a3=23,且an+1=αan+β,则α、β的值分别为________、________.
解析:由题意an+1=αan+β,
得a2=αa1+βa3=αa2+β⇒5=2α+β23=5α+β⇒α=6,β=-7.
答案:6 -7
9.已知{an}满足an=-1nan-1+1(n≥2),a7=47,则a5=________.
解析:a7=-1a6+1,a6=1a5+1,∴a5=34.
答案:34
三、解答题
10.写出数列1,23,35,47,…的一个通项公式,并判断它的增减性.
解:数列的一个通项公式an=n2n-1.
又∵an+1-an=n+12n+1-n2n-1=-12n+12n-1<0,
∴an+1<an.
∴{an}是递减数列.
11.在数列{an}中,a1=3,a17=67,通项公式是关于n的一次函数.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求a2011;
(3)2011是否为数列{an}中的项?若是,为第几项?
解:(1)设an=kn+b(k≠0),则有k+b=3,17k+b=67,
解得k=4,b=-1.∴an=4n-1.
(2)a2011=4×2011-1=8043.
(3)令2011=4n-1,解得n=503∈N*,
∴2011是数列{an}的第503项.
12.数列{an}的通项公式为an=30+n-n2.
(1)问-60是否是{an}中的一项?
(2)当n分别取何值时,an=0,an>0,an<0?
解:(1)假设-60是{an}中的一项,则-60=30+n-n2.
解得n=10或n=-9(舍去).
∴-60是{an}的第10项.
(2)分别令30+n-n2=0;>0;<0,
解得n=6;0<n<6;n>6,
即n=6时,an=0;
0<n<6时,an>0;
n>6时,an<0.

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