高中数学试题

高中数学基本不等式训练题(含答案)

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1.若xy>0,则对 xy+yx说法正确的是(  )
A.有最大值-2       B.有最小值2
C.无最大值和最小值   D.无法确定
答案:B
2.设x,y满足x+y=40且x,y都是正整数,则xy的最大值是(  )
A.400   B.100
C.40   D.20
答案:A
3.已知x≥2,则当x=____时,x+4x有最小值____.
答案:2 4
4.已知f(x)=12x+4x.
(1)当x>0时,求f(x)的最小值;
(2)当x<0 时,求f(x)的最大值.
解:(1)∵x>0,∴12x,4x>0.
∴12x+4x≥212x•4x=83.
当且仅当12x=4x,即x=3时取最小值83,
∴当x>0时,f(x)的最小值为83.
(2)∵x<0,∴-x>0.
则-f(x)=12-x+(-4x)≥212-x•-4x=83,
当且仅当12-x=-4x时,即x=-3时取等号.
∴当x<0时,f(x)的最大值为-83.

一、选择题
1.下列各式,能用基本不等式直接求得最值的是(  )
A.x+12x   B.x2-1+1x2-1
C.2x+2-x   D.x(1-x)
答案:C
2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是(  )
A.32-3   B.-3
C.62   D.62-3
解析:选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)≥3(22-1)=62-3.
3.已知m、n∈R,mn=100,则m2+n2的最小值是(  )
A.200   B.100
C.50   D.20
解析:选A.m2+n2≥2mn=200,当且仅当m=n时等号成立.
4.给出下面四个推导过程:
①∵a,b∈(0,+∞),∴ba+ab≥2ba•ab=2;
②∵x,y∈(0,+∞),∴lgx+lgy≥2lgx•lgy;
③∵a∈R,a≠0,∴4a+a ≥24a•a=4;
④∵x,y∈R,,xy<0,∴xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]≤-2-xy-yx=-2.
其中正确的推导过程为(  )
A.①②   B.②③
C.③④   D.①④
解析:选D.从基本不等式成立的条件考虑.
①∵a,b∈(0,+∞),∴ba,ab∈(0,+∞),符合基本不等式的条件,故①的推导过程正确;
②虽然x,y∈(0,+∞),但当x∈(0,1)时,lgx是负数,y∈(0,1)时,lgy是负数,∴②的推导过程是错误的;
③∵a∈R,不符合基本不等式的条件,
∴4a+a≥24a•a=4是错误的;
④由xy<0得xy,yx均为负数,但在推导过程中将全体xy+yx提出负号后,(-xy)均变为正数,符合基本不等式的条件,故④正确.
5.已知a>0,b>0,则1a+1b+2ab的最小值是(  )
A.2   B.22
C.4   D.5
解析:选C.∵1a+1b+2ab≥2ab+2ab≥22×2=4.当且仅当a=bab=1时,等号成立,即a=b=1时,不等式取得最小值4.
6.已知x、y均为正数,xy=8x+2y,则xy有(  )
A.最大值64   B.最大值164
C.最小值64   D.最小值164
解析:选C.∵x、y均为正数,
∴xy=8x+2y≥28x•2y=8xy,
当且仅当8x=2y时等号成立.
∴xy≥64.
二、填空题
7.函数y=x+1x+1(x≥0)的最小值为________.
答案:1
8.若x>0,y>0,且x+4y=1,则xy有最________值,其值为________.
解析:1=x+4y≥2x•4y=4xy,∴xy≤116.
答案:大 116
9.(2010年高考山东卷)已知x,y∈R+,且满足x3+y4=1,则xy的最大值为________.
解析:∵x>0,y>0且1=x3+y4≥2xy12,∴xy≤3.
当且仅当x3=y4时取等号.
答案:3
三、解答题
10.(1)设x>-1,求函数y=x+4x+1+6的最小值;
(2)求函数y=x2+8x-1(x>1)的最值.
解:(1)∵x>-1,∴x+1>0.
∴y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5
≥2 x+1•4x+1+5=9,
当且仅当x+1=4x+1,即x=1时,取等号.
∴x=1时,函数的最小值是9.
(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1
=(x-1)+9x-1+2.∵x>1,∴x-1>0.
∴(x-1)+9x-1+2≥2x-1•9x-1+2=8.
当且仅当x-1=9x-1,即x=4时等号成立,
∴y有最小值8.
11.已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,求证:(1a-1)•(1b-1)•(1c-1)≥8.
证明:∵a,b,c∈(0,+∞),a+b+c=1,
∴1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca≥2bca,
同理1b-1≥2acb,1c-1≥2abc,
以上三个不等式两边分别相乘得
(1a-1)(1b-1)(1c-1)≥8.
当且仅当a=b=c时取等号.
12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池,池的深度一定,池的外圈周壁建造单价为每米400元,中间一条隔壁建造单价为每米100元,池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计).
问:污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.
解:设污水处理池的长为x米,则宽为200x米.
总造价f(x)=400×(2x+2×200x)+100×200x+60×200
=800×(x+225x)+12000
≥1600x•225x+12000
=36000(元)
当且仅当x=225x(x>0),
即x=15时等号成立.

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