高中数学知识点

高中数学知识点:充分条件和必要条件

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一、充分条件和必要条件

当命题“若 A 则 B”为真时,A 称为 B 的充分条件,B 称为 A 的必要条件。

二、充分条件、必要条件的常用判断法

1.定义法:判断B是A的条件,实际上就是判断B=>A或者A=>B是否成立,只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图,再利用定义判断即可

2.转换法:当所给命题的充要条件不易判断时,可对命题进行等价装换,例如改用其逆否命题进行判断。

3.集合法
在命题的条件和结论间的关系判断有困难时,可从集合的角度考虑,记条件p、q对应的集合分别为A、B,则: 
若A⊆ B,则p是q的充分条件。 
若A⊇B,则p是q的必要条件。
若A=B,则p是q的充要条件。 
若A ⊈B,且B⊉A,则p是q的既不充分也不必要条件。


三、知识扩展

1.四种命题反映出命题之间的内在联系,要注意结合实际问题,理解其关系(尤其是两种等价关系)的产生过程,关于逆命题、否命题与逆否命题,也可以叙述为:
(1)交换命题的条件和结论,所得的新命题就是原来命题的逆命题; 
(2)同时否定命题的条件和结论,所得的新命题就是原来的否命题; 
(3)交换命题的条件和结论,并且同时否定,所得的新命题就是原命题的逆否命题。 

2.由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化,他们之间存在这密切的联系,故在判断命题的条件的充要性时,可考虑“正难则反”的原则,即在正面判断较难时,可转化为应用该命题的逆否命题进行判断。一个结论成立的充分条件可以不止一个,必要条件也可以不止一个。

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