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高中数学 不等式的基本性质

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不等式的基本性质

  1.不等式的定义:a-b>0a>b,a-b=0a=b,a-b<0a
 
  ①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础,也是证明不等式与解不等式的主要依据。
 
  ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景,来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。
 
  作差后,为判断差的符号,需要分解因式,以便使用实数运算的符号法则。
 
  2.不等式的性质:
 
  ①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
 
  不等式基本性质有:
 
  (1)a>bb
 
  (2)a>b,b>ca>c(传递性)
 
  (3)a>ba+c>b+c(c∈R)
 
  (4)c>0时,a>bac>bc
 
  c<0时,a>bac
 
  运算性质有:
 
  (1)a>b,c>da+c>b+d。
 
  (2)a>b>0,c>d>0ac>bd。
 
  (3)a>b>0an>bn(n∈N,n>1)。
 
  (4)a>b>0>(n∈N,n>1)。
 
  应注意,上述性质中,条件与结论的逻辑关系有两种:“”和“”即推出关系和等价关系。一般地,证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此,要正确理解和应用不等式性质。
 
  ②关于不等式的性质的考察,主要有以下三类问题:
 
  (1)根据给定的不等式条件,利用不等式的性质,判断不等式能否成立。
 
  (2)利用不等式的性质及实数的性质,函数性质,判断实数值的大小。
 
  (3)利用不等式的性质,判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。

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