高中物理解题技巧

例析用矢量三角形求最小值

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矢量三角形法则是从平行四边形法则演变来的,是矢量运算的法则。用矢量三角形分析和计算矢量的最小值, 即简便又形象,有事半功倍的效果,下面举例分析。

一、求电场强度最小值

例1 质量为m的带正电小球A悬挂在绝缘细线上,其电荷量为q,且处匀强电场中。当小球A静止时,细线与竖直方向成30°角,如图所示,求匀强电场强度E的最小值及其方向。

解析:由于小球受重力、电场力和绳的拉力处于静止状态,故小球所受的重力和电场力的合力一定沿绳的方向向下。根据三角形法则可做出重力、电场力及其合力的矢量三角形,如图。可见当电场力qE和合力F垂直时,电场力最小,即E最小。

由几何关系得:mgsin30°=qE

解得:E=mg/2q

方向:垂直于绳向上

二、求速度最小值

例2 有一小船在渡河,如图所示,在离对岸30m时,其下游40m处有一危险水域,假若水流速度为5m/s,为了使小船在危险水域之前到达对岸,求小船从现在起,相对于静水的最小速度。

解析:小船同时参与两个运动,随水流的运动和相对于水的运动,两分速度分别为v1和v2,与合速度v可组成矢量三角形,如图,当小船恰好在危险区登陆,且v2垂直于v时,v2最小。v2=v1sinα,由位移关系可得:sinα=3/5 解得最小速度v2=3m/s 船头指向:与上游河岸成53°。

三、求力的最小值

例3 将质量m=5kg的木板置于水平桌面上,其右端三分之一长度推出桌子边缘,木板与桌面间动摩擦因数为,试求欲将木板推回桌面所施加的最小推力。

解析:木板受力为:重力mg、支持力FN、摩擦力Fμ、和推力F。因Fμ与压力成正比,所以Fμ和FN也成正比,两者的合力方向F是确定的,且tanα= Fμ/FN=μ,可得α=30°,如图。

刚好推动木板的条件是合力恰好为零,即重力、推力和F三个力的合力为零。重力和推力的合力应该与F共线。做重力、推力、及其合力的矢量三角形如图,可知当推力与合力的方向垂直时,其值最小,如图中的F2。可解得 Fmin=mgsinα=25N,方向:与水平方向的夹角为30°向上。

此题将支持力和摩擦力合成为一个方向恒定的力F,通过这种巧妙的转化,可做出矢量三角形,有此法求解。

四、求动量的最小值

例4 真空中存在空间范围足够大的、水平向右的匀强电场。在电场中,若将一个质量为m、带正电的小球由静止释放,运动中小球速度与竖直方向夹角为37°(取sin37°=0.6,cos37°=0.8)。现将该小球从电场中某点以初速度v0竖直向上抛出。求运动过程中,求小球的最小动量的大小及方向。

解析:首先做出电场力和重力的合力F,再做出初动量P0的方向。根据动量定理可知,合力的方向和动量变化ΔP的方向相同,根据三角形法则,作出P0、ΔP、和末动量Pt的矢量三角形,如图,当Pt垂直于ΔP时,动量最小。

解得:Pmin=mv0sin37°=0.6mv0,方向:与电场方向成37°向上。

此题是将电场力和重力合成,得到合力F的方向,从而得到动量变化ΔP的方向,通过转化,得到了动量的矢量三角形,此方法很简便。

五、求磁感应强度的最小值

例5 如图所示,平行于纸面水平向右的匀强磁场,磁感应强度为B1=1T。位于纸面内的细直导线,长L=1m,通有I=1A的恒定电流。当导线与B1成60°的夹角时,发现其受到的安培力为零,则区域同时存在的另一个匀强磁场的磁感应强度B2的可能值(  )

A. B. C.  D.

解析:由题意可知,导线受到的安培力为0,说明B1、B2的合磁场B与I平行,B1、B2和B满足用矢量三角形求最小值的条件。做矢量三角形如图,可知B2垂直合磁场B时,有最小值,且为B1sin60°=。故正确答案为:BCD

总结:当三个矢量关系能组成矢量三角形,且其中一个矢量恒定;另一个矢量的方向恒定,大小可以变化;第三个矢量大小和方向都在变化。满足以上条件可以用该方法求第三个矢量的最小值,且只有垂直时最小。

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